第一周作业

本次作业题包括习题1.1第2题和习题1.2的第3、8题。

习题1.1

2

（1）

当端点$x=0$固定时，边界条件为$u(0,t)=0$，其中$t\in [0,+\infty)$。

当端点$x=\ell$固定时，边界条件为$u(\ell,t)=0$，其中$t\in [0,+\infty)$。

（2）

当端点$x=0$自由时，端点受的应力为零从而应变也为零，即边界条件为$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0$，其中$t\in [0,+\infty)$。

当端点$x=\ell$自由时，端点受的应力为零从而应变也为零，即边界条件为$\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)=0$，其中$t\in [0,+\infty)$。

（3）

设$S$表示杆的截面面积，而$k$为支承的弹性常数。

时间$t$时，在左端点（对应平衡位置$x=0$）处：

• 细杆的应变为$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)$，于是由Hooke定律，细杆对支承的弹性力为$E(0)S(0)\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)$（注意到应变正时细杆在左端点附近处于拉长状态，而弹性力应抵抗伸长，所以力的方向为正向）；
• 支承的拉伸量为$u(0,t)$，故支承对细杆的弹性力为$-ku(0,t)$。

因为以上两个力是作用-反作用力对，按照牛顿第三定律$-E(0)S(0)\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=-ku(0,t)$，故边界条件形如$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)-\sigma u(0,t)=0$，其中$t\in [0,+\infty)$而$\sigma$为某非负常数。

时间$t$时，在右端点（对应平衡位置$x=\ell$）处：

• 细杆的应变为$\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)$，于是由Hooke定律，细杆对支承的弹性力为$-E(\ell)S(\ell)\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)$（注意到应变正时细杆在右端点附近处于拉长状态，而弹性力应抵抗伸长，所以力的方向为负向）；
• 支承的压缩量为$u(\ell,t)$，故支承对细杆的弹性力为$-ku(\ell,t)$。

因为以上两个力是作用-反作用力对，按照牛顿第三定律$E(\ell)S(\ell)\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)=-ku(\ell,t)$，故边界条件形如$\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)+\sigma u(\ell,t)=0$，其中$t\in [0,+\infty)$而$\sigma$为某非负常数。

许多同学完全没有理解本题在问什么，本题与弦振动的区别是纵波与横波的区别。

习题1.2

3

注意到定解问题的解形如$u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)$。当$x-at=0$，有$\varphi (x)=u(x,t)=F(0)+G(2x)$，即$G(x)=\varphi (\frac{x}{2})-F(0)$。当$x+at=0$，有$\psi (x)=u(x,t)=F(2x)+G(0)$，即$F(x)=\psi (\frac{x}{2})-G(0)$。因此$u(x,t)=\psi (\frac{x-at}{2})+\varphi (\frac{x+at}{2})-F(0)-G(0)=\psi (\frac{x-at}{2})+\varphi (\frac{x+at}{2})-\varphi (0)$。

8

$\begin{align}u(x,t)&=\frac{1}{2}\int^{x+t}_{x-t}\sin\xi\mathrm{d}\xi+\frac{1}{2}\int^t_0\int^{x+(t-\tau)}_{x-(t-\tau)}\tau\sin\xi\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\tau\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+\int^t_0\tau(-\cos (x+t-\tau)+\cos (x-t+\tau))\mathrm{d}\tau)\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+\tau (\sin (x+t-\tau)+\sin (x-t+\tau))\vert^{\tau=t}_{\tau=0}-\int^t_0(\sin (x+t-\tau)+\sin (x-t+\tau))\mathrm{d}\tau)\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+t(\sin (x)+\sin (x))-(\cos (x+t-\tau)-\cos (x-t+\tau))\vert^{\tau=t}_{\tau=0})\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+2t\sin (x)+\cos (x+t)-\cos (x-t))\\&=t\sin x\end{align}$