第十三周作业

本次作业题包括习题3.3第7题。

习题3.3

7

设$u$在$B_{2R}(A)\setminus\{A\}$调和，则可取$u_1$为$\begin{cases}\Delta u_1(M)=0&,M\in B_R(A)\\u_1(M)=u(M)&,M\in \partial B_R(A)\end{cases}$的经典解，令$w=u-u_1$，则$w$在$B_{R}(A)\setminus\{A\}$调和且在$\partial B_R(A)$取零。对任何$M^\ast\in B_{R}(A)\setminus\{A\}$和$\epsilon\gt 0$，取$w_{\epsilon}(M)=\epsilon (\log\frac{1}{r_{AM}}-\log\frac{1}{R})$，则$w_\epsilon$在$B_{R}(A)\setminus\{A\}$调和且在$\partial B_R(A)$取零。由于$\displaystyle\lim_{M\to A}\frac{w(M)}{w_\epsilon(M)}=\lim_{M\to A}\frac{u(M)-u_1(M)}{\epsilon (\log\frac{1}{r_{AM}}-\log\frac{1}{R})}=0$，存在$\delta\in (0,r_{AM^\ast})$使对任何$M\in \partial B_\delta(A)$，$-w_\epsilon(M)\leq w(M)\leq w_\epsilon(M)$。在$B_R(A)\setminus B_\delta(A)$上用极值原理，即得$-w_\epsilon(M^\ast)\leq w(M^\ast)\leq w_\epsilon(M^\ast)$，由$\epsilon$的任意性，$w(M^\ast)=0$，于是在$B_{R}(A)\setminus\{A\}$上$u$与$u_1$恒等。也就是说，只要补充定义$u(A)=v(A)$，$u$就在$A$的邻域$B_{2R}(A)$调和。