第十四周作业

本次作业题包括习题3.4第2、4题。

习题3.4

2

假设定解问题有两个解$u_1,u_2$，则$w=u_2-u_1$为以下问题的解：

$\begin{cases}\Delta w(M)=0&, M\in\Omega\\(\frac{\partial w}{\partial\vec{n}} +\sigma w)(M)=0&, M\in\partial\Omega\end{cases}$

由极值原理知$w$在某点$M_1\in\partial\Omega$取得它在$\overline{\Omega}$的最小值，从而$\frac{\partial w}{\partial\vec{n}}(M_1)\leq 0$，从而$w(M_1)=-\frac{1}{\sigma}\frac{\partial w}{\partial\vec{n}}(M_1)\geq 0$。同理，由极值原理知$w$在某点$M_2\in\partial\Omega$取得它在$\overline{\Omega}$的最大值，从而$\frac{\partial w}{\partial\vec{n}}(M_2)\geq 0$，从而$w(M_2)=-\frac{1}{\sigma}\frac{\partial w}{\partial\vec{n}}(M_2)\leq 0$。于是$0\leq w(M_1)\leq w(M_2)\leq 0$，最小值和最大值均为0，即$w$恒为0。

4

设$M_0\in\overline{\Omega}$为$u$在$\overline{\Omega}$的最小值点。

• 若$M_0\in\Omega$，则$\Delta u(M_0)\geq 0$，从而$u(M_0)=\frac{1}{c}(f(M_0)+\Delta u(M_0))\gt 0$。
• 若$M_0\in\partial\Omega$，则知$\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}(M_0)\leq 0$，从而$u(M_0)=\frac{1}{\sigma}(g(M_0)-\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}(M_0))\gt 0$。

因此，对任何$M\in\overline{\Omega}$，$u(M)\geq u(M_0)\gt 0$。