第十五周作业

本次作业题包括习题4.1第3（1）（2）（3）题。

习题4.1

3

（1）

考虑一阶偏微分方程$\varphi_x^2+4\varphi_x\varphi_y+5\varphi_y^2=0$，因式分解得$(\varphi_x+(2+i)\varphi_y)(\varphi_x+(2-i)\varphi_y)=0$。注意到$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2+i$的一族积分曲线为$(2+i)x-y=C$，即$2x-y+ix=C$。令$\xi=2x-y, \eta=x$，则

$\begin{cases}u_x=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x=2u_\xi+u_\eta\\u_y=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y=-u_\xi\\u_{xx}=4u_{\xi\xi}+4u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}\\u_{xy}=-2u_{\xi\xi}-u_{\xi\eta}\\u_{yy}=u_{\xi\xi}\end{cases}$

代入方程$u_{xx}+4u_{xy}+5u_{yy}+u_{x}+2u_{y}=0$得$(4u_{\xi\xi}+4u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})+4(-2u_{\xi\xi}-u_{\xi\eta})+5u_{\xi\xi}+(2u_\xi+u_\eta)+2(-u_\xi)=0$，即$u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}=-u_{\eta}$，这是椭圆型方程。

（2）

以下考虑$x\neq 0$的情况。

考虑一阶偏微分方程$x^2\varphi_x^2+2xy\varphi_x\varphi_y+y^2\varphi_y^2=0$，因式分解得$(x\varphi_x+y\varphi_y)^2=0$。注意到$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}$的一族积分曲线为$\frac{y}{x}=C$。令$\xi=\frac{y}{x}, \eta=x$，则$\begin{vmatrix}\xi_{x}&\xi_{y}\\\eta_{x}&\eta_{y}\end{vmatrix}=-\frac{1}{x}\neq 0$，

$\begin{cases}u_x=u_\xi\xi_x+u_\eta\eta_x=-\frac{y}{x^2}u_\xi+u_\eta\\u_y=u_\xi\xi_y+u_\eta\eta_y=\frac{1}{x}u_\xi\\u_{xx}=\frac{y^2}{x^4}u_{\xi\xi}-2\frac{y}{x^2}u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}+\frac{2y}{x^3}u_\xi\\u_{xy}=-\frac{y}{x^3}u_{\xi\xi}+\frac{1}{x}u_{\xi\eta}-\frac{1}{x^2}u_{\xi}\\u_{yy}=\frac{1}{x^2}u_{\xi\xi}\end{cases}$

代入方程$x^2u_{xx}+2xyu_{xy}+y^2u_{yy}=0$得$x^2(\frac{y^2}{x^4}u_{\xi\xi}-2\frac{y}{x^2}u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}+\frac{2y}{x^3}u_\xi)+2xy(-\frac{y}{x^3}u_{\xi\xi}+\frac{1}{x}u_{\xi\eta}-\frac{1}{x^2}u_{\xi})+y^2(\frac{1}{x^2}u_{\xi\xi})=0$，即$u_{\eta\eta}=0$。

（3）

先考虑上半平面（$y\gt 0$），考虑一阶偏微分方程$\varphi_x^2+y\varphi_y^2=0$，因式分解得$(\varphi_x+i\sqrt{y}\varphi_y)(\varphi_x-i\sqrt{y}\varphi_y)=0$。注意到$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=i\sqrt{y}$的一族积分曲线为$2\sqrt{y}-ix=C$。令$\xi=2\sqrt{y}, \eta=-x$，则

$\begin{cases}u_x=-u_\eta\\u_y=\frac{1}{\sqrt{y}}u_\xi\\u_{xx}=u_{\eta\eta}\\u_{yy}=\frac{1}{y}u_{\xi\xi}-\frac{1}{2y^{\frac{3}{2}}}u_\xi\end{cases}$

代入方程$u_{xx}+yu_{yy}=0$得$u_{\eta\eta}+y(\frac{1}{y}u_{\xi\xi}-\frac{1}{2y^{\frac{3}{2}}}u_\xi)=0$，即$u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}=\frac{1}{\xi}u_\xi$，这是椭圆型方程。

再考虑下半平面（$y\lt 0$），考虑一阶偏微分方程$\varphi_x^2+y\varphi_y^2=0$，因式分解得$(\varphi_x+\sqrt{-y}\varphi_y)(\varphi_x-\sqrt{-y}\varphi_y)=0$。注意到$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\mp\sqrt{-y}$的两族积分曲线为$x\pm 2\sqrt{-y}=C$。令$\xi=x+2\sqrt{-y}, \eta=x-2\sqrt{-y}$，则

$\begin{cases}u_x=u_\xi+u_\eta\\u_y=-\frac{1}{\sqrt{-y}}(u_\xi-u_\eta)\\u_{xx}=u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta}\\u_{yy}=-\frac{1}{y}(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})-\frac{1}{2\sqrt{-y^3}}(u_\xi-u_\eta)\end{cases}$

代入方程$u_{xx}+yu_{yy}=0$得$(u_{\xi\xi}+2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})+y(-\frac{1}{y}(u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta})-\frac{1}{2\sqrt{-y^3}}(u_\xi-u_\eta))=0$，即$u_{\xi\eta}=-\frac{1}{2(\xi-\eta)}(u_\xi-u_\eta)$，这是双曲型方程。