第十八周作业

本次作业题包括习题4.4第2、4题。

习题4.4

2

因$\Omega$有界，存在$d\gt 0$使$\Omega\subseteq (-d,d)\times\mathbb{R}^{n-1}$。取$k$充分大使$\alpha k^2- k\displaystyle\sup_{x\in\Omega}\vert b_1(x)\vert\gt 1$。对任何$\epsilon\gt 0$，令$v(x)=\Phi+(e^{2k d}-e^{k(x_1+d)})(F+\epsilon)$，$w=u-v$。因$w$在有界闭集$\overline{\Omega}$连续，有最大值点$x^{(0)}$。

• 若$x^{(0)}\in\partial\Omega$，则$w(x^{(0)})\leq \varphi(x^{(0)})-\Phi\leq 0$
• 若$x^{(0)}\in\Omega$且$w(x^{(0)})\gt 0$，则在$x^{(0)}$处会导出矛盾：
  • $\begin{align}\sum^n_{i,j=1}a_{ij}w_{x_ix_j}+\sum^n_{i=1}b_{i}w_{x_i}+cw&=f+k^2a_{11}e^{k(x_1+d)}(F+\epsilon)+b_1k e^{k(x_1+d)}(F+\epsilon)-cv(x^{(0)})\\&\geq f+(k^2a_{11}+b_1k)e^{k(x_1+d)}(F+\epsilon)\\&\geq f+(\alpha k^2-\sup_{\Omega}\vert b_1\vert k)(F+\epsilon)\\&\geq f+F+\epsilon\\&\geq \epsilon\gt 0\end{align}$
  • $(w_{x_ix_j})_{n\times n}$半负定而$(a_{ij})_{n\times n}$正定从而$\displaystyle\sum^n_{i,j=1}a_{ij}w_{x_ix_j}\leq 0$，又$w_{x_i}=0$和$cw\leq 0$，$\displaystyle\sum^n_{i,j=1}a_{ij}w_{x_ix_j}+\sum^n_{i=1}b_{i}w_{x_i}+cw\leq 0$

这说明$w$在$\overline{\Omega}$非正，即对任何$x\in\overline{\Omega}$，$u(x)=w(x)+v(x)\leq v(x)\leq \Phi+(e^{2k d}-e^{k(x_1+d)})(F+\epsilon)$，再由$\epsilon$的任意性知$u(x)\leq \Phi+(e^{2k d}-e^{k(x_1+d)})F$。考虑$-u$得$-u(x)\leq \Phi+(e^{2k d}-e^{k(x_1+d)})F$。结合两方面即得到$\displaystyle\max_{x\in\overline{\Omega}}\vert u(x)\vert\leq \Phi+(e^{2kd}-1)F$。

4

令$E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}u^2(x,t)\mathrm{d}x$，则

$\begin{align}\frac{\mathrm{d}E(t)}{\mathrm{d}t}&=\int_{\Omega}uu_t\mathrm{d}x\\&=\int_{\Omega}(u\Delta u-\sum^n_{i=1}b_iuu_{x_i}-cu^2+fu)\mathrm{d}x\\&=\int_{\partial\Omega}u\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\mathrm{d}x+\int_{\Omega}(-\vert\nabla u\vert^2 -\sum^n_{i=1}b_iuu_{x_i}-cu^2+fu)\mathrm{d}x\\&=\int_{\Omega}(-\vert\nabla u\vert^2 -\sum^n_{i=1}b_iuu_{x_i}-cu^2+fu)\mathrm{d}x\\&\leq CE(t)+\int_{\Omega}f^2(x,t)\mathrm{d}x\end{align}$

两边乘以$e^{-Ct}$再对$t$积分即得$E(t)\leq e^{Ct}(E(0)+\int^t_0\int_{\Omega}f^2(x,s)\mathrm{d}x\mathrm{d}s)$。