第九周作业

本次作业题包括习题3.2第6题。

习题3.2

6

假设$u$在$\Omega$的内点$x$取得正的最大值，则对任何$i\in\{1,\cdots,n\}$，成立$\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)=0$，又$(\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}(x))_{n\times n}$半负定。由$u(x)\gt 0$和$c\lt 0$知$cu(x)\lt 0$。因$A=(a_{ij})_{n\times n}$正定，存在可逆矩阵$C=(c_{ij})_{n\times n}$使$A=C^TC$，即对任何$i,j\in\{1,\cdots,n\}$，成立$a_{ij}=\displaystyle\sum^n_{k=1}c_{ki}c_{kj}$。于是$\displaystyle\sum^n_{i,j=1}a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}(x)=\sum^n_{i,j=1}\sum^n_{k=1}c_{ki}c_{kj}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}(x)=\sum^n_{k=1}\sum^n_{i,j=1}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}(x)c_{ki}c_{kj}\leq 0$

因此，$0=\displaystyle\sum^n_{i,j=1}a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}(x)+\sum^n_{i=1}b_i\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)+cu(x)=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}(x)+cu(x)\lt 0$，矛盾，这说明$u$不能在$\Omega$内部取得正的最大值。

最后，由于$-u$满足同一方程，它不能在$\Omega$内部取得正的最大值，即$u$不能在$\Omega$内部取得负的最小值